Muestreo de Poblaciones Infinitas
Por:
Dr. Luis Antonio Pérez González
Instituto Tecnológico de Orizaba - ipac
Contenido
Selección del tamaño de la muestra para
estimar µ
Introducción
El caso típico de muestreo en poblaciones infinitas discretas nos lo brindan los experimentos Bernoulli. La sucesión de variables aleatorias independientes X1, X2, …, Xn distribuidas Bernoulli de parámetro p es, bajo los definiciones que hemos introducido, una muestra aleatoria de una población discreta infinita. En este caso n puede tomar cualquier tamaño, ya que la población de la que se extrae la muestra es infinita, si bien cada elemento de la n-ada puede tomar sólo dos valores: 0 y 1 (razón por la cual es discreta).
Ejemplos de poblaciones Bernoulli pueden ser el conjunto de votantes de un país. Si bien esta población es finita, su enorme tamaño hace que para fines prácticos pueda ser considerada infinita. Cada votante de esa población tiene en su mente un apoyo o un rechazo a cierto candidato.
Si del mismo conjunto de votantes nos interesara su edad, expresada en años y en números enteros, entonces estaríamos hablando de una variable aleatoria discreta que puede tomar valores entre 18 y, digamos, 100 años.
En ambos casos estamos hablando de una población tangible: los votantes pueden ser identificados y geográficamente ubicados. Existen, sin embargo, poblaciones de otra naturaleza. Considere por ejemplo la población que contiene todos los tiempos de espera posibles cuando una persona va a solicitar un servicio a determinado banco en su hora pico. Desde luego que esta población es infinita, pero no sólo eso, sus elementos ya no pueden ser identificados sino sólo observados mediante, por ejemplo, un proceso de muestreo. Además, los tiempos de espera ya no pueden ser representados por variables discretas, sino que caen dentro de la categoría de lo que hemos llamado variables continuas.
Lo resultados que a continuación presentamos aplican en general para poblaciones infinitas, no importa si las variables aleatorias correspondientes son discretas o continuas.
Propiedades básicas
Teorema EM3-1. Sea X1, X2, …, Xn, una muestra aleatoria extraída de una determinada población infinita discreta o continua W. Se cumple que:
a) 
(si 
existe).
b) 
(si 
existe).
Demostración. Tenemos, para el inciso (a):
Para demostrar la afirmación del inciso (b) sacaremos provecho de la independencia de las Xk, k=1,2,…n, gracias a la cual la varianza de su suma es igual a la suma de sus varianzas. Tenemos:
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Corolario: Si µ es la media poblacional entonces la media aritmética muestral es un estimador insesgado (no desplazado) de la media poblacional µ, es decir:
Por otra parte, si s2 es la varianza poblacional, entonces:
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Observación. Observe que a este último resultado se pudo haber llegado a partir de la expresión
correspondiente a la varianza de la media muestral para
poblaciones finitas en un muestreo aleatorio simple sin reemplazo. En efecto,
si en esta última expresión se hace tender el tamaño N de la población hacia
infinito, entonces (N-n)/(N-1) tiende a 1, con lo cual se probaría que en
poblaciones infinitas 
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Teorema EM3-2. Se cumplen las siguientes dos propiedades:
Demostración. Tenemos:
Con esto queda probado el inciso (a). El inciso (b) queda evidenciado como sigue:
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Selección del tamaño de la muestra para estimar µ
La reflexión que hicimos al introducir este tema en el muestreo en poblaciones finitas es totalmente válida en el presente caso, por lo que aquí también tiene lugar la expresión:
en donde e es el error máximo admisible y 1-a representa la confiabilidad deseada. Sea B(a) la cantidad con la propiedad
entonces podemos escribir:
De aquí resulta:
(EM3-1) 
Traigamos ahora del corolario del teorema EM3 la expresión:
(EM3-2) 
Estamos ahora en condiciones de probar el siguiente teorema:
Teorema EM3-3. Si con n denotamos el tamaño de la muestra en un muestreo de poblaciones infinitas, entonces, para un nivel de confianza 1 - a y un error de muestreo e tiene lugar:
(EM3-3) 
Demostración. De las relaciones (EM3-1) y (EM3-2) obtenemos:
Despejando n se obtiene la relación (EM3-3). ■