TEOREMAS DEL LÍMITE CENTRAL
Por:
Dr. Luis Antonio Pérez González
Universidad Politécnica del Valle de Toluca
Ing. Carlos Díaz Ramos
Instituto Tecnológico de Orizaba
Contenido
Teorema
Clásico del Límite Central
Reglas
empíricas sobre el tamaño de n para asumir normalidad
Resultados básicos
El tema que ahora nos ocupa se refiere a un conjunto de teoremas que, sin temor a equivocarnos, pertenecen a los más utilizados, consciente o inconscientemente, en las diversas aplicaciones de la estadística. Nos referimos a la clase de teoremas que establecen las condiciones para que la suma y el promedio de variables aleatorias independientes tienda a distribuirse normal. Puesto que las condiciones para que esto suceda están presentes en una gran cantidad de situaciones prácticas, los teoremas del límite central nos habilitan, en tales situaciones, a asumir normalidad para la distribución de las sumas y promedios. Este conjunto de teoremas es conocido como Teoremas del Límite Central, siguiendo una denominación introducida por G. Polya en 1920.
Los primeros teoremas de esta clase fueron esbozados en 1800 por Laplace y Gauss, pero los primeros resultados expuestos de manera rigurosa fueron presentados por el matemático ruso Liapunov, en 1901.
En este capítulo enunciaremos sólo tres de estos teoremas: el Teorema de Lindeberg – Feller, el Teorema de Liapunov y el Teorema Clásico del Límite Central. Presentaremos la demostración sólo de este último. La diferencia de fondo entre ellos es que mientras el teorema clásico exige que las variables aleatorias que intervienen en la suma, tengan la misma distribución, los otros teoremas eliminan esta restricción, pidiendo a cambio que se cumplan ciertas condiciones que quedarán establecidas en el enunciado de los teoremas respectivos.
Haremos uso, en los
enunciados de los siguientes teoremas, de las siguientes notaciones asociadas a
la secuencia X1, X2, . . ., Xn de
variables aleatorias independientes de media µk
y varianza 
finitas, k=1,…,n:
(Función
de Distribución Normal)
Teorema de Lindeberg - Feller
Teorema TLC1. (Teorema de Lindeberg – Feller) Para que
es suficiente que 
tenga lugar la
condición
(Lindeberg)
Y, para que tenga lugar la condición de Lindeberg, es necesario que
(Feller) ■
Se puede así observar que este teorema, si bien no exige distribución idéntica en las variables Xk, sí exige que éstas contribuyan con una cantidad insignificante a la varianza de la suma (Lindeberg). Más aún, es categórico al decir, que para que esto tenga lugar es necesario que la varianza del Xk más disperso, sea despreciable en comparación con la varianza de la suma (Feller).
Teorema de Liapunov
Teorema
TLC3. (Teorema de Liapunov). Sea X1, X2, . . ., Xn una
secuencia de variables aleatorias independientes de media µk
y varianza 
finitas, k=1,…,n. Si es posible
seleccionar un número h > 0 de tal manera que
entonces
■
Teorema Clásico del Límite Central
Teorema TLC3. (Teorema Clásico del Límite Central). Sea X1, X2, . . ., Xn una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media µ y varianza s2 finitas. Entonces la variable aleatoria
se distribuye asintóticamente
N(0,1).
Demostración. Analicemos la función característica de X(n):
Como las variables Xk son idénticamente distribuidas, podemos escribir:
Por otra parte, desarrollando la serie de
Taylor para 
tenemos:
por lo que
en donde 
.
Como 
y 
resulta:
Ahora bien, sabemos que 
. Luego es claro que:
Pero esta última expresión corresponde a la
función característica de una variable aleatoria N(0,1),
con lo cual queda demostrado el teorema. ■
Coroloario TLC1. (Teoremas del
Límite Central para Promedios). Sea X1, X2, . . ., Xn una
secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
con media µ y varianza s2
finitas. Sea
su promedio, es decir,
Entonces la variable aleatoria
se distribuye asintóticamente
N(0,1).
Demostración. Tenemos:
Luego, de acuerdo al
teorema TLC3, Zn se distribuye asintóticamente N(0,1). ■
Coroloario TLC2. Sea X1, X2, . . ., Xn una secuencia de variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas con media µ y varianza s2 finitas. Entonces su promedio
se distribuye asintóticamente N(µ,s2/n). ■
Reglas empíricas sobre el tamaño de n para asumir normalidad
W.W. Hines y D. Montgomery, en su texto Probabilidad y Estadística para Ingeniería, (CECSA 1998, pág. 238), se hacen la pregunta “¿Qué tan grande debe ser n para obtener resultados razonables utilizando la distribución normal para aproximar la distribución de X(n)? Después de confesar que no es una pregunta fácil de responder puesto que la respuesta depende tanto de las características de la distribución de las variables Xk, como del significado de “resultados razonables”, proponen lo que llaman “reglas empíricas imperfectas” para el caso en que la distribución de las variables Xk entre en uno de los siguientes tres grupos:
1) Buen comportamiento. La distribución de las variables Xk es acampanada y aceptablemente simétrica. En este caso n ≥ 4. Esta regla es aceptada en el control estadístico del proceso y en otras áeas de aplicación.
2) Comportamiento moderado. La distribución de las variables Xk es razonablemente uniforme. En este caso n ≥ 4. Esta regla también es seguida por los especialistas en simulación, en el proceso de generación de números aleatorios con distribución normal.
3) Comportamiento nocivo. La distribución concentra su masa en los extremos. Aquí cualquier recomendación es de alto riesgo, pero n ≥ 100 suele dar resultados satisfactorios.