DISTRIBUCIÓN t NO CENTRADA
Por:
Dr. Luis Antonio Pérez González
Universidad Politécnica del Valle de Toluca
Ing. Carlos Díaz Ramos
Instituto Tecnológico de Orizaba
Ing. Mario Arrioja Rodríguez
Instituto Tecnológico de Orizaba
Definición
DtNC1. Sean X ~ N(m, 1) y Y ~
variables aleatorias independientes. La variable aleatoria t
definida por la relación
es conocida como variable aleatoria t No Centrada con k grados de
libertad de parámetro de no centralidad 
. ■
Teorema DtNC1. La f.d.p. de la variable aleatoria t No Centrada admite la expresión
(DtNC1) 
donde 
se conoce como
parámetro de no centralidad y la f.d.p. como función
de distribución t de Student no-centrada.
Demostración
La f.d.p. conjunta de X y Y es
Consideremos la transformación 
, cuyo jacobiano es 
. Es claro que 
. Bajo estos considerandos resulta
que para 
:
Integrando con respecto a r para obtener la
distribución marginal de T, y sustituyendo µ por d, se obtiene la relación buscada. ■
Teorema DtNC2 La f.d.p. de la distribución t no centrada admite las expresiones:
(DtNC2) 
(DtNC3) 
(DtNC4)
donde 
. El signo “-“ aplica cuando m<0
o j es non; en caso contrario aplica el signo “+”.
Demostración (DtNC2).
Denotaremos con g(t) a la expresión bajo la integral que aparece en (DtNC1). Haciendo algunas manipulaciones algebraicas a la suma de los exponentes de las e obtenemos:
Considerando la transformación 
cuyo jacobiano es 
resulta:
Al analizar la expresión que se encuentra entre corchetes encontramos lo siguiente:
Sustituyendo este resultado en la última expresión de g(t) obtenemos:
Sustituyendo la integral de la expresión (DtNC1) por el valor que hemos encontrado para g(t), obtenemos la expresión (DtNC2). ■
Demostración (DtNC3).
Sustituyamos en la expresión (DtNC2) el contenido de la integral por su equivalente de acuerdo a la proposición RG4. Tenemos:
Para llegar a la expresión (DtNC3) basta sólo con observar que:
■
Demostración (DtNC4).
La afirmación de este inciso resulta de
sustituir en la expresión (DtNC2) el contenido de la
integral por su equivalente de acuerdo a la proposición RG5. ■